Re: Niestabilne równania różniczkowe – a co to za

nikodem123:

> stefan 4 w dyskusji „Dlaczego niże są dżdżyste” stwierdził, że przewidywanie

> pogody rozbija się o to, że „równania różniczkowe stają się niestabilne”.

Nie równania, tylko ich rozwiązania.

Żeby rozwiązać równanie różniczkowe, zawsze potrzebne są jakieś warunki początkowe, czy brzegowe. Np. dla równania

    y'(x) = 1

(czyli chcemy znaleźć taką funkcję y, której pochodna wynosi 1) przy warunku początkowym y(0)=1 rozwiązaniem jest

    y(x) = x+1

a przy warunku początkowym y(0)=5 rozwiązaniem jest

    y(x) = x+5

W tym bardzo prostym przykładzie zależność rozwiązania od warunku początkowego jest bardzo porządna, ale tak nie musi być zawsze. Może tak być, że bardzo mała zmiana warunku początkowego daje w efekcie dramatyczną zmianę rozwiązania równania. Praktycznym skutkiem jest trudność w przewidywaniu, jak zachowa się proces opisywany równaniem.

Samo równanie bierze się na ogół z naszej wiedzy teoretycznej o naturze zjawiska. Ale warunki początkowe to wyniki pomiarów. W przypadku równań o rozwiązaniach niestabilnych nikły błąd pomiaru może jako skutek przynieść dramatyczną rozbieżność rozwiązania równania z rzeczywistością. A przecież w praktyce każdy pomiar jest obarczony błędem.

Niestety tak właśnie dzieje się w przypadku równań różniczkowych opisujących stan atmosfery — ich rozwiązania są silnie niestabilne. Teoretycznie znając z nieskończoną dokładnością temperatury, ciśnienia, wilgotność, coś tam jeszcze, w pewnej chwili, powinniśmy umieć wyliczyć stan pogody dla dowolnej chwili późniejszej. Ale nie znamy tych rzeczy z nieskończoną dokładnością, a błędy mogą się kumulować w sposób lawinowy. Dlatego pogoda wyliczona, dość szybko (po kilku dniach) rozjeżdża się z prawdziwą.

Na pocieszenie: jeśli liczymy nie konkretną pogodę tylko klimat, czyli interesują nas wartości uśrednione i nie dbamy o pojedyncze kilometry i dni, to radzimy sobie lepiej.

– Stefan

Zwalczaj biurokrację!